eukleides'in aksiyomları ve teoremleri.
iskenderiyeli bir yunan bilgini olan eukleides, m.ö. iii. yy .da geometri hakkında ilk mükemmel kitabı yazdı. eukleides o zamanki kitaplarında (bunlar somut sorunların çözümünü gösteren basit «reçete» derlemeleriydi) farklı bir açıdan bakarak, öne sürdüğü sonuçları, kesin kanıtlara başvurma yoluyla kanıtlamak istiyordu.
bunun için önce, sezgiye dayanan birtakım kavramlar (nokta, doğru, düzlem) kabul etti (aksiyom), sonra doğru sandığı, ama doğruluğunu kanıtlayamadığı birtakım gerçekleri belirledi (bütün, parçadan daha büyüktür; üçüncü bir niceliğe eşit olan iki nicelik birbirine de eşittir) [postulat]. bu aksiyom'larla postülat'lara dayanılarak geometri teorem'leri kurulur.
kuşkusuz eukleides, aksiyomlarının doğruluğunu kanıtlayamazdı, ama ona ve çağdaşlarına göre bunlar, tartışma götürmez gerçeklerdi. söz gelimi, dik açı konusunda kesin bir yargıya varabiliyordu, çünkü gerçek hayatta, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle, elindeki bir çekülün yaptığı dik açıyı gözleriyle görebiliyordu.
eukleides geometrisi, üstünde yaşadığımız dünyayı anlamak için mükemmel bir araçtır; bu geometri, bilim ve tekniğin ilerlemesinde önemli bir etken olmuştur.
eukleides dışı geometriler.
eukleides aksiyomlarının kesinliği, xix. yy .dan itibaren tartışılmaya başladı. alman matematikçisi riemann ve rus matematikçisi lobaçevski, eukleides aksiyomlarının tam karşıtı olan aksiyomlardan işe başladılar. böylece ilk bakışta hiç bir pratik yararı yokmuş gibi görünen değişik geometriler (eukleides dışı geometriler) doğdu. ve bu yeni geometriler o zamandan beri birçok alanda (nükleer fizik, astronotik v.b.) işe yaradı (einstein bunlar sayesinde bağlılık kuramını kurabildi).
cebir tekniklerinin geometriye uygulanması, noktaları sayılara veya koordinatlara bağlayarak bütün eğrileri hesaplamak ve saptamak olanağı sağlayan analitik geometri'yi doğurdu (descartes).
rönesans ressamları ve tasarı geometri.
tasarı geometri'de, uzay geometrinin şekilleri veya ögeleri, tam ve aslına uygun biçimde bir düzleme (üzerine şekil çizilen kağıt) aktarılır. rönesans'ın büyük ressam ve mimarları tasarı geometriden yararlanmışlarsa da, onu gerçek bir matematik sistemi haline getiren (temel geometri, kaba perspektif), matematikçi monge olmuştur.
izdüşüm geometrisi (bir şeklin herhangi bir noktasını esas alarak tümünü bir düzleme izdüşümle aktarmak), resim ve süsleme sanatı için de çok önemlidir. ama asıl yeri, aksiyomları ve ilişkileri bakımından izdüşüm geometrisi, matematiğin bir dalıdır.
saf (katıksız) geometri.
geometride, her yerde geçerli kesin belirlemeler giderek azalmakta, başlangıç aksiyomları artık sadece belirli bir geometri için doğru sayılmaktadır. burada gerçek olan başka bir yerde yanlış olabilir. her şeye rağmen, maddi gerçeklerin incelenmesinde uygulamalı geometrinin sağladığı olanaklar sonsuzdur.
yüz ölçümü hesaplanmak istenen bir tarlanın çizgisel taslağından tutun da gök cisimlerinin yörüngelerinin saptanmasına, haritalara, planlara, coğrafyada kullanılan ölçeklere, makine yapımına, mimarlığa varıncaya kadar, geometri bilgisinin mutlaka gerekli olduğu alan pek çok ve geniştir.
bununla birlikte, matematik çalışmaları daha ileriyi, uzak geleceği de göz önünde tutar. hemen yararlanma kaygısına kapılmadan yapılan matematik araştırmalar saymakla bitmez. bu çalışmalar, doğruluğu mevcut koşullara bağlı olmayan kusursuz örnekler yaratma amacı güder. saf geometrinin esası budur.
thales.
ünlü bir bilgin ve filozof olan (yunanistan'ın yedi bilge'sinden biridir) miletoslu thales (m.ö. 640-562), düzlem geometrinin ilk teoremlerini hazırladı. thales, bir yapının yüksekliğini, onun gölgesini ölçerek hesaplayabiliyordu.
pithagoras.
«birdik üçgende, hipotenüs (dik açının karşısındaki kenar) üzerine kurulan kare öteki iki kenar üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir»: bu teoremi m.ö. vi. yy.da yaşamış ünlü yunan filozof ve matematikçisi pithagoras bulmuştur. çarpım tablosunu ve telli çalgılarda gamı icat eden de odur.
monge.
tasarı geometrinin yaratıcısı ve analitik geometrinin büyük kuramcısı gaspard monge (1746-1818), bütün xix. yy. matematikçilerinin eşsiz ustasıdır.